#title: CAM: Equações diferenciais homogéneas 10 A

#author: Smirnov

#let:

f def_e = e :: %e;
n a ={[2..9]};
f G0 = [ sqrt(#a*y), atan(#a*y), asin(#a*y), acos(#a*y),  e^(#a*y)];
f G2 = [ sqrt(#a*x), atan(#a*x), asin(#a*x), acos(#a*x),  e^(#a*x)];
f G10 = [ u^2/#a, tan(u)/#a, sin(u)/#a, cos(u)/#a,  log(u)/#a];
G0~G10~G2;

f aux2 = [G12(u) := #G10];

f P0 = [log(t)];

f aux3 = [P(t) := #P0];

f g = diff(#G0,y,1);
f p = diff(#P0,t,1);

f aux11 = [g1(x) := diff(#G0,y,1)];
f aux12 = [p1(t) := diff(#P0,t,1)];

f aux4 = [P3(t,C) := #P0+C];

f sol = G12(P3(t,C));

f aux5 = [Sol2(t,C) := #sol];
f Sol = Sol2(t,C);

f aux6 = [rhs1(t,y) := diff(#P0,t,1)/diff(#G0,y,1)];
f rhs = rhs1(t,y);

f aux7 = [rhs2(t,x) := ratsimp(1/diff(#G2,x,1)+x)];
f rhside1 = rhs2(t,x);
f aux77 = [rhs22(t,x) := #rhside1];
f rhside = rhs22(t,x/t);


f aux8 = [rhs3(y) := 1/diff(#G0,y,1)+y];
f rhside2 = rhs3(y);

f Sol3= t*#Sol;

#Question:

\noindent Encontre a solução geral da equação
$$
\frac{dx}{dt}=#rhside.
$$

#Sugestion:

\noindent Faça a mudança de variável $x=ty$.


#Resolution:

\noindent A equação é homogénea. Fazendo a mudança de variável $x=ty$, obtemos
a equação de variáveis separáveis. De fato,
$$
\dot{x}=y+t\dot{y}=#rhside2
$$
Daqui obtemos a equação
$$
\frac{dy}{dt}=#rhs.
$$
 Utilizando o método de separação de variáveis obtemos
$$
 #g dy = #p dt.
$$
Integrando esta igualdade temos
$$
 \int #g dy = \int #p dt+C.
$$
Calculando as primitivas encontramos
$$
 #G0 = #P0 +C.
$$
Daqui obtemos
$$
y(t)= #Sol .
$$
Portanto
$$
x(t)=#Sol3.
$$

#Result:


#Verification: