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 }{

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}

\newenvironment{exame}[3]{\noindent\fbox{\begin{minipage}{\textwidth}\begin{center}
{\Huge #1 \\ \huge #2 \\ \large #3\\}
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\newcommand{\exametitle}[3]{\noindent\fbox{\begin{minipage}{\textwidth}\begin{center}
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\newif\iftth
\begin{document}
\exametitle{Regra dos multiplicadores de Lagrange 10 A}{Smirnov\mbox{}}{\today}

\iftth
\begin{html}
<div style="float: left; width: 50%;">\end{html}
\fi 
\subsection*{Question}
\noindent Sejam
\begin{eqnarray*}
 && z=(x,y),\\
 && f(z)=7 x+8 y,\\
 && g(z)=y^2+4\,y+x^2+6\,x+6.
\end{eqnarray*}
Utilizando a regra dos multiplicadores de Lagrange resolva o problema
\begin{eqnarray*}
 && f(z)\rightarrow\min,\\
 && g(z)=0.
\end{eqnarray*}
\iftth
\begin{html}</div>
<div style="float: right; width: 50%;">
\end{html}
\fi

\iftth
\begin{html}<a href="#" onclick="toggle_visibility('sugestion');" >\end{html}
\fi
\subsection*{Sugestion}
\iftth
\begin{html}</a><div style="display:none;" id="sugestion">\end{html}
\fi
Como $\nabla g(z)\neq 0$ quando $g(z)=0$, existe um multiplicador de Lagrange $\lambda$ tal que no ponto de  mínimo se verifica a igualdade $\nabla_z L(z,\lambda )=0$, onde $L(z,\lambda )= f(z)+\lambda g(z)$ é a função de Lagrange.
\iftth
\begin{html}</div>\end{html}
\fi

\iftth
\begin{html}<a href="#" onclick="toggle_visibility('resolution');" >\end{html}
\fi
\subsection*{Resolution}
\iftth
\begin{html}</a><div style="display:none;" id="resolution">\end{html}
\fi
A função de Lagrange é dada por
$$
L(x,y,\lambda )=8\,y+7\,x+\lambda (y^2+4\,y+x^2+6\,x+6).
$$
A condição necessária de mínimo  $\nabla_z L(z,\lambda )=0$ toma a forma
\begin{eqnarray*}
 && 7 + 4 \lambda (x - 3 ) =0,\\
 && 8 + 14 \lambda (y - 2 ) =0.
\end{eqnarray*}
Daqui obtemos
\begin{eqnarray*}
 && x = 3 - \frac{7}{4 \lambda},\\
 && y = 2 - \frac{8}{14 \lambda}.
\end{eqnarray*}
Substituindo estes valores na igualdade $g(z)=0$, obtemos
$$
 \frac{7^2}{ 8 \lambda^2} +  \frac{8^2}{ 28 \lambda^2}= 7.
$$
Daqui encontramos
$$
 \lambda = \pm \sqrt{{{471}\over{392}} }.
$$
O sinal menos corresponde ao máximo e o sinal mais ao mínimo. Portanto a solução do problema é
\begin{eqnarray*}
 && x = 3-\frac{7}{4 \sqrt{{{471}\over{392}}}} ,\\
 && y = 2-\frac{8}{14 \sqrt{{{471}\over{392}}}} .
\end{eqnarray*}
\iftth
\begin{html}</div>\end{html}
\fi

\iftth
\begin{html}<a href="#" onclick="toggle_visibility('result');" >\end{html}
\fi
\subsection*{Result}
\iftth
\begin{html}</a><div style="display:none;" id="result">\end{html}
\fi
\begin{eqnarray*}
 && x = 3-\frac{7}{4 \sqrt{{{471}\over{392}}}} ,\\
 && y = 2-\frac{8}{14 \sqrt{{{471}\over{392}}}} .
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
 && 3-{{49}\over{\sqrt{2}\,\sqrt{471}}} ,\\
 && 2-{{2^{{{7}\over{2}}}}\over{\sqrt{471}}} .
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
 && 1.403493729494868 ,\\
 && 1.47869183003914 .
\end{eqnarray*}
\iftth
\begin{html}</div>\end{html}
\fi

\subsection*{Obs}




\iftth
\begin{html}<br><br><br><br></div>\end{html}
\fi


\end{document}
