#title: Regra dos multiplicadores de Lagrange 10 A

#author: Smirnov

#let:

n a  = {[2..9]};
n b  = {[2..9]};
n c  = {[2..9]};
n d  = {[2..9]};
n r  = {[1..9]};
n x0 = {[1..9]};
n y0 = {[1..9]};

n c2 = 2*#c;
n d2 = 2*#d;
n c4 = 4*#c;
n d4 = 4*#d;

f lam = (#a^2/#c+#b^2/#d)/4/#r;

f F  = [#a*x+#b*y];
f G  = [(x+#x0)^2+(y+#y0)^2-#r];
f GG = ratsimp(#G);

f jjx0 =  maxima{ #x0-#a/(#c2 * sqrt(#lam)) };
f jjy0 =  maxima{ #y0-#b/(#d2 * sqrt(#lam)) };

x  =  maxima{ float(#x0-#a/(#c2 * sqrt(#lam))) };
y  =  maxima{ float(#y0-#b/(#d2 * sqrt(#lam))) };

#question:

\noindent Sejam 
\begin{eqnarray*}
 && z=(x,y),\\
 && f(z)=#a x+#b y,\\
 && g(z)=#GG.
\end{eqnarray*}
Utilizando a regra dos multiplicadores de Lagrange resolva o problema
\begin{eqnarray*}
 && f(z)\rightarrow\min,\\
 && g(z)=0.
\end{eqnarray*}

#sugestion: Como $\nabla g(z)\neq 0$ quando $g(z)=0$, existe um multiplicador de Lagrange $\lambda$ tal que no ponto de  mínimo se verifica a igualdade $\nabla_z L(z,\lambda )=0$, onde $L(z,\lambda )= f(z)+\lambda g(z)$ é a função de Lagrange.


#resolution: A função de Lagrange é dada por
$$
L(x,y,\lambda )=#F+\lambda (#GG).
$$
A condição necessária de mínimo  $\nabla_z L(z,\lambda )=0$ toma a forma
\begin{eqnarray*}
 && #a + #c2 \lambda (x - #x0 ) =0,\\
 && #b + #d2 \lambda (y - #y0 ) =0.
\end{eqnarray*}
Daqui obtemos
\begin{eqnarray*}
 && x = #x0 - \frac{#a}{#c2 \lambda},\\
 && y = #y0 - \frac{#b}{#d2 \lambda}.
\end{eqnarray*}
Substituindo estes valores na igualdade $g(z)=0$, obtemos
$$
 \frac{#a^2}{ #c4 \lambda^2} +  \frac{#b^2}{ #d4 \lambda^2}= #r.
$$
Daqui encontramos 
$$
 \lambda = \pm \sqrt{#lam }.
$$
O sinal menos corresponde ao máximo e o sinal mais ao mínimo. Portanto a solução do problema é
\begin{eqnarray*}
 && x = #x0-\frac{#a}{#c2 \sqrt{#lam}} ,\\
 && y = #y0-\frac{#b}{#d2 \sqrt{#lam}} .
\end{eqnarray*}

#result:

\begin{eqnarray*}
 && x = #x0-\frac{#a}{#c2 \sqrt{#lam}} ,\\
 && y = #y0-\frac{#b}{#d2 \sqrt{#lam}} .
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
 && #jjx0 ,\\
 && #jjy0 .
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
 && #x ,\\
 && #y .
\end{eqnarray*}


#verification:

 #x   ;
 #y   ;
 
## dois números (vector) [#x0-\frac{#a}{#c2 \sqrt{#lam}},  #y0-\frac{#b}{#d2 \sqrt{#lam}}] 


#usepackage:
 

#perl

sub v{ }