
\documentclass[portuges,a4paper]{article}
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%not provided
\begin{document}

\title{Integração por partes}
\author{}
\date{\today}
\maketitle

\section{Sorteio}
\begin{verbatim}
    P |            x \cos{x} | x * (cos(x))
   dP |  \cos{x} - x \sin{x} | (cos(x)) - (x * (sin(x)))
  ddP | -2 \sin{x} - x \cos{x} | (-2 * (sin(x))) - (x * (cos(x)))
    U |                  x^4 | x ^ 4
   dU |                4 x^3 | 4 * (x ^ 3)
  ddU |               12 x^2 | 12 * (x ^ 2)
    V | \frac{\cos{x} - x \sin{x}}{4 x^3} | ((cos(x)) - (x * (sin(x)))) / (4 * (x ^ 3))
   dV | \frac{4 x^3 \left(-2 \sin{x} - x \cos{x}\right) - \left(\cos{x} - x \sin{x}\right) 12 x^2}{\left(4 x^3\right)^2} | (((4 * (x ^ 3)) * ((-2 * (sin(x))) - (x * (cos(x))))) - (((cos(x)) - (x * (sin(x)))) * (12 * (x ^ 2)))) / ((4 * (x ^ 3)) ^ 2)

\end{verbatim}

\section{Enunciado}
\noindent Calcule a primitiva
$$
\int x^4*\frac{4 x^3 \left(-2 \sin{x} - x \cos{x}\right) - \left(\cos{x} - x \sin{x}\right) 12 x^2}{\left(4 x^3\right)^2} dx.
$$

\section{Sugestão}
 \noindent Utilize a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv-\int vdu.
$$

\section{Resolução}
 \noindent Utilizando a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv-\int vdu
$$
obtemos
$$
\int x^4*\frac{4 x^3 \left(-2 \sin{x} - x \cos{x}\right) - \left(\cos{x} - x \sin{x}\right) 12 x^2}{\left(4 x^3\right)^2} dx=x^4 \frac{\cos{x} - x \sin{x}}{4 x^3}-\int \frac{\cos{x} - x \sin{x}}{4 x^3} 4 x^3 dx= x^4 \frac{\cos{x} - x \sin{x}}{4 x^3} - x \cos{x} + C.
$$

\section{Solução}
 $$
\int x^4*\frac{4 x^3 \left(-2 \sin{x} - x \cos{x}\right) - \left(\cos{x} - x \sin{x}\right) 12 x^2}{\left(4 x^3\right)^2} dx = x^4 \frac{\cos{x} - x \sin{x}}{4 x^3} - x \cos{x} + C.
$$

\end{document}

