#title:Integração por partes

#Let:

f P = [ x^2*sin(x)  , x*cos(x) , x^3*exp(x)] ;
f dP= [ 2*x*sin(x)+x^2*cos(x), cos(x)-x*sin(x), 3*x^2*exp(x)+x^3*exp(x) ] ; 
f ddP= [ 2*sin(x)+4*x*cos(x)-x^2*sin(x), -2*sin(x)-x*cos(x), 6*x*exp(x)+6*x^2*exp(x)+x^3*exp(x) ] ; 
f U  = [ x^2 , x^3 , x^4 ] ;
f dU = [ 2*x , 3*x^2 , 4*x^3 ] ;
f ddU = [ 2 , 6*x , 12*x^2 ] ;

P~dP~ddP;
U~dU~ddU;

cf V = #dP / #dU;
cf dV = (#dU*#ddP - #dP*#ddU)/(#dU)^2;

#Question:

\noindent Calcule a primitiva
$$
\int #U*#dV dx.
$$


#Sugestion:

\noindent Utilize a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv-\int vdu.
$$


#Resolution

\noindent Utilizando a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv-\int vdu
$$
obtemos
$$
\int #U*#dV dx=#U #V-\int #V #dU dx= #U #V - #P + C.
$$



#Result:

$$
\int #U*#dV dx = #U #V - #P + C.
$$


#Verification:

f (#U*#V+C);