#Title: Estatica

#Let:

n L_1 = [1 , 2 , 3 , 4 ] ;

n sin_alpha = [1/4 , 1/2 , 3/4 , 4/5] ;

n sin_beta  = [1/3 , 2/3 , 5/6 , 1/6] ;

n F_1 = [1 , 2 , 3 , 4] ;

n F_2 = [3/2 , 5/2 , 7/2 , 9/2] ;

n cos_alpha = [sqrt(15)/4 , sqrt(3)/2 , sqrt(13)/4 , 3/5] ;

cos_alpha ~ sin_alpha;

n cos_beta = sqrt(1-(#sin_beta)^2) ;

n L_2 = #L_1 * #sin_alpha  / #sin_beta ;

n L_3 = #L_1 * #cos_alpha + #L_2 * #cos_beta ;

n F_AB = (-#F_2 * #sin_beta + #F_1 * #cos_beta )/ (#cos_alpha * #sin_beta + #sin_alpha * #cos_beta ) ;

n F_BC = (#F_2 * #sin_alpha + #F_1 * #cos_alpha )/ (#cos_alpha * #sin_beta + #sin_alpha * #cos_beta ) ;

batata={ [11..14] };

batata ~ L_1;

#Question:

\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{Estatica.jpg}
\end{center}

\noindent Considere as barras $AB$ e $BC$ (veja o desenho) de comprimentos $L_1=#L_1$ e $L_2=#L_2$, respectivamente. 
A distância entre os pontos $A$ e $C$ é igual a $L_3=#L_3$. 
No ponto $B$ são aplicadas as forças $F_1=#F_1$ (no sentido vertical) e $F_2=#F_2$ (no sentido horizontal).
Encontre as forças aplicadas ao longo das barras $AB$ e $BC$.

#Sugestion:

\noindent Escreva as equações de equilíbrio e utilize as igualdades
\begin{eqnarray*}
&& L_1\cos\alpha+L_2\cos\beta=L_3,\\
&& L_1\sin\alpha=L_2\sin\beta.
\end{eqnarray*}


#resolution:

\noindent As equações de equilíbrio são:
\begin{eqnarray*}
&& \sum F_x=0=F_{AB}\cos\alpha - F_{BC}\cos\beta + F_2,\\
&& \sum F_x=0=F_{AB}\sin\alpha + F_{BC}\sin\beta - F_1.
\end{eqnarray*}
Para encontrar os senos e cossenos dos ângulos $\alpha$ e $\beta$ consideremos as igualdades
\begin{eqnarray*}
&& L_1\cos\alpha+L_2\cos\beta=L_3,\\
&& L_1\sin\alpha=L_2\sin\beta.
\end{eqnarray*}
Daqui obtemos
\begin{eqnarray*}
&& L_1^2\cos^2\alpha=(L_3-L_2\cos\beta )^2,\\
&& L_1^2\sin^2\alpha=L_2^2\sin^2\beta.
\end{eqnarray*}
Adicionando estas igualdades encontramos
$$
L_1^2=L_3^2-2L_2L_3\cos\beta+L_2^2.
$$
Portanto temos
$$
\cos\beta=\frac{L_3^2+L_2^2-L_1^2}{2L_2L_3}.
$$
Analogamente obtemos
$$
\cos\alpha=\frac{L_3^2+L_1^2-L_2^2}{2L_1L_3}.
$$
Agora encontramos os senos:
$$
\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}
\;\; e \;\; 
\sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}.
$$
Resolvendo o sistema das equações de equilíbrio obtemos
\begin{eqnarray*}
&& F_{AB}=\frac{F_1\cos\beta-F_2\sin\beta}{\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta}=#F_AB ,\\
&& F_{BC}=\frac{F_1\cos\alpha+F_2\sin\alpha}{\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta}=#F_BC.
\end{eqnarray*}


#result:

$$
F_{AB} = #F_AB,
$$
$$
F_{BC} = #F_BC.
$$

#verify:

 #F_AB ;
 #F_BC ;