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%\newtheorem{lemma}{Lema}
%\newtheorem{corollary}{Corollary}
%\newtheorem{proposition}{Proposition}

\mode<presentation>
{
\usetheme{Antibes}
	%\usetheme{Warsaw}
}

\author{Jos\'e Jo\~ao Dias de Almeida e Gueorgui Smirnov}
\institute[F]{C}

\subject{apr}
%\AtBeginSubsection[]
%{
%	\begin{frame}<beamer>
%		O
%	\end{frame}
%}

\title[GERADOR DE EXERC\'ICIOS]{H}
%\subtitle{I}

\date{Junho de 2011}

\begin{document}
%\pagestyle{empty}

\begin{frame}
\vspace{10mm}
\begin{center}
~\\
{\Large\bf GERADOR DE EXERC\'ICIOS}
\\~\\~\\
{\large\bf Jos\'e Jo\~ao Dias de Almeida e Gueorgui Smirnov}\\
~\\
{\large EEUM + ECUM} 
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{center}
\frametitle{Estrutura Geral: Base de exerc\'\i cios} 
\end{center}
%\vspace{15mm}
\begin{center}
\begin{figure}[h]
\pgfimage[width=10cm]{Arvore}\\
\end{figure}
%{\includegraphics[0,0][500,220]{oper.bmp}}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{center}
\frametitle{Query} 
\end{center}
\#Title(Teste 2B/Exame de recurso/ Ficha de trabalho 3A);\\
~\\
\%Aqui pode estar um texto em Latex ou um macro comando que cria o t\'\i tulo \\ %caso o utilizador não gosta do Latex.
~\\

\#Path=d:$\backslash$Exercicios;  \%pasta no PC do utilizador, onde estão as listas\\
~\\
\#MathematicalAnalysis$\backslash$Derivatives$\backslash$Exercise1(u=u1.list, du=du1.list, etc); \\ \% por defeito utiliza-se as listas que o exercício já tem e que não podem ser alteradas\\ %para evitar o vandalismo\\
~\\
\#MathematicalAnalysis$\backslash$Integrals$\backslash$Exercise1(v=vv2.list, Pu=Pu1.list, etc); 
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{center}
\frametitle{Estrutura Geral: Processamento de um exerc\'\i cio} 
\end{center}
%\vspace{15mm}
\begin{center}
\begin{figure}[h]
\pgfimage[width=8cm]{EsquemaGeral}\\
\end{figure}
%{\includegraphics[0,0][500,220]{oper.bmp}}
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{center}
\frametitle{Estrutura\c c\~ao de exerc\'\i cios: Equa\c c\~ao de grau dois } %\large\bf
\end{center}
\noindent \#title: Equa\c c\~ao quadratica\\
\#let:\\
a   =[ 1 , -1 , 2 , 1/2 , 2/3 , 3 , 5 ] ;\\
x\_1 =[ 0 , 1 , 1/2 , 2 , -1 , -3/2 , 5 , 3 ] ;\\
x\_2 =[ 1 , 1/2 , 2/3 , -2 , -1 , -3 , 2 ] ;\\
b= -\# a * (\# x\_1 + \# x\_2) ;\\
c=  \# a * \# x\_1 * \# x\_2 ;\\
D=  \# b **2 - 4 * \# a * \# c ;\\
\#question:\\
Resolva a equa\c c\~ao: \$\# a x\^~ 2 + \# b x + \# c=0\$.\\
\#sugestion:\\
As ra\'\i ­zes de uma equa\c c\~ao de grau dois calcula-se utilizando a f\'ormula:\\
\$\$\\
x\_ \{ 1,2\} =$\backslash$ frac \{ -b $\backslash$ pm $\backslash$  sqrt\{D\}\}\{2a\},\\
\$\$\\
onde \$D=b\^~2 -4ac\$.\\
\end{frame}



\begin{frame}
\begin{center}
\frametitle{Estrutura\c c\~ao de exerc\'\i cios: Equa\c c\~ao de grau dois } %\large\bf
\end{center}
\#resolution:\\
As ra\' \i ­zes de uma equa\c c\~ao de grau dois calcula-se utilizando a f\'ormula:\\
\$\$\\
x\_\{1,2\}=$\backslash$  frac\{-b $\backslash$  pm $\backslash$  sqrt \{ D\}\}\{2a\},\\
\$\$\\
onde \$D=b\^~ 2 -4ac\$.\\
 Discriminante desta equa\c c\~ao \'e: \\
\$\$\\
D = \#D.\\
\$\$\\
Portanto, as ra\'\i ­zes s\ ao:\\
\$\$\\
x\_\{1\}=$\backslash$  frac\{-\#b + $\backslash$ sqrt\{\#D\}\}\{2$\backslash$  cdot $\backslash$ \#a\} = \#x\_1\\
$\backslash$ ;\{$\backslash$  rm e\}$\backslash$ \; \\
x\_\{2\}=$\backslash$  frac\{-\#b - $\backslash$ sqrt\{\#D\}\}\{2$\backslash$ \#a\} = \#x\_2.\\
\$\$\\
\end{frame}


\begin{frame}

\begin{center}
\frametitle{Estrutura\c c\~ao de exerc\'\i cios: Equa\c c\~ao de grau dois } %\large\bf
\end{center}
\#result:\\
\$\$\\
x\_\{1\} = \#x\_1,\\
\$\$\\
\$\$\\
x\_\{2\} = \#x\_2.\\
\$\$\\
\#Verify:\\
$\backslash$ set\{ x\_1 ,  x\_2\} ;

\end{frame}



\begin{frame}
\begin{center}
\frametitle{Estrutura\c c\~ao de exerc\'\i cios: Derivada de produto } %\large\bf
\end{center}
\#title: Derivada do produto\\
\#Let:\\
 v  = [sin(x)  , cos(x) , exp(x)] ;\\
 u  = [ x , x\^~2 , x\^~3] ;\\
 dv = [ cos(x) , -sin(x) , exp(x)] ;\\
 du = [ 1 , 2*x , 3*x\^~2] ;\\
 v$\sim$dv;\\
 u$\sim$du;\\
 w  = \#u  * \#v ;\\
 dw = \#du * \#v + \#u * \#dv ;\\
\#Question:\\
Calcule a derivada da fun\c c\~ao: \$f(x)=\#w\$.\\
\#Sugestion:\\
 Utilize a f\'ormula \$(uv)'=u'v+uv'\$.
 \end{frame}


\begin{frame}
\begin{center}
\frametitle{Estrutura\c c\~ao de exerc\'\i cios: Derivada de produto } %\large\bf
\end{center}
\#Resolution:\\
Utilizando a f\'ormula \$(uv)'=u'v+uv'\$ obtemos\\
\$\$\\
(uv)' = \#dw .\\
\$\$\\
\#Result:\\
\$\$\\
(uv)' = \#dw.\\
\$\$\\
\#Verify:\\
function( dw , [-10 : -1 : 100] , [1 : 10 : 100])   ;
\end{frame}



\begin{frame}
\begin{center}
\frametitle{Estrutura\c c\~ao de exerc\'\i cios: Est\'atica } %\large\bf
\end{center}
Considere as barras $AB$ e $BC$ (veja o desenho) de comprimentos $L_1=L1$ e $L_2=L_2$, respectivamente. 
A dist\^ancia entre os pontos $A$ e $C$ \'e igual a $L_3=L_3$. 
No ponto $B$ s\~ao aplicadas as for\c cas $F_1=F_1$ (no sentido vertical) e $F_2=F_2$ (no sentido horizontal).
Encontre as for\c cas aplicadas ao longo das barras $AB$ e $BC$.
\begin{center}
\begin{figure}[h]
\pgfimage[width=7cm]{Estatica}
\end{figure}
\end{center}

\end{frame}




\begin{frame}
\begin{center}
\frametitle{Estrutura\c c\~ao de exerc\'\i cios: Est\'atica } 
\end{center}
 As equa\c c\~oes de equil\'\i brio s\~ao:
\begin{eqnarray*}
&& \sum F_x=0=F_{AB}\cos\alpha - F_{BC}\cos\beta + F_2,\\
&& \sum F_x=0=F_{AB}\sin\alpha + F_{BC}\sin\beta - F_1.
\end{eqnarray*}
Para encontrar os senos e cossenos dos \^angulos $\alpha$ e $\beta$ consideremos as igualdades
\begin{eqnarray*}
&& L_1\cos\alpha+L_2\cos\beta=L_3,\\
&& L_1\sin\alpha=L_2\sin\beta.
\end{eqnarray*}
Daqui obtemos
\begin{eqnarray*}
&& L_1^2\cos^2\alpha=(L_3-L_2\cos\beta )^2,\\
&& L_1^2\sin^2\alpha=L_2^2\sin^2\beta.
\end{eqnarray*}
Adicionando estas igualdades encontramos
$$
L_1^2=L_3^2-2L_2L_3\cos\beta+L_2^2.
$$

\end{frame}



\begin{frame}
\begin{center}
\frametitle{Estrutura\c c\~ao de exerc\'\i cios: Est\'atica } 
\end{center}
Portanto temos
$$
\cos\beta=\frac{L_3^2+L_2^2-L_1^2}{2L_2L_3}.
$$
Analogamente obtemos
$$
\cos\alpha=\frac{L_3^2+L_1^2-L_2^2}{2L_1L_3}.
$$
Agora encontramos os senos:
$$
\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}
\;\; {\rm e }\;\; 
\sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}.
$$
Resolvendo o sistema das equa\c c\~oes de equil\'\i brio obtemos
\begin{eqnarray*}
&& F_{AB}=\frac{F_1\cos\beta-F_2\sin\beta}{\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta}=F_{AB} ,\\
&& F_{BC}=\frac{F_1\cos\alpha+F_2\sin\alpha}{\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta}=F_{BC}.
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{center}
\frametitle{Estrutura\c c\~ao de exerc\'\i cios: Geometria elementar } %\large\bf
\end{center}
\begin{center}
\begin{figure}[h]
\pgfimage[width=5cm]{Triang}
\end{figure}
\end{center}
Temos $AD$ e $AB$, $AC=?$.\\
 $\Delta ACD\sim\Delta ABC\;\Rightarrow\;\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}\;\Rightarrow\;AC=\sqrt{AD\cdot AB}$.\\
Temos $BD$ e $AB$, $BC=?$.\\
 $\Delta BCD\sim\Delta ABC\;\Rightarrow\;\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}\;\Rightarrow\;BC=\sqrt{BD\cdot AB}$.\\
Temos $BD$ e $AD$, $CD=?$.\\
 $\Delta ACD\sim\Delta BCD\;\Rightarrow\;\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}\;\Rightarrow\;CD=\sqrt{BD\cdot AA}$.\\
\end{frame}


\end{document}


\begin{frame}


\end{frame}

\begin{frame}


\end{frame}

\begin{frame}


\end{frame}

\end{document}

